Riemann Zeta Function for 0 < real(s) < 1

\( \eta(s) = (1-2^{1-s}) \zeta(s) \)

general form, for \( p \in \mathbb{N} \)

\( \zeta(s) = \dfrac{1}{1^s} + \dfrac{1}{2^s} + \dfrac{1}{3^s} + ... \)

\( \dfrac{p}{p^s} \zeta(s) = \dfrac{p}{p^s} + \dfrac{p}{{(2p)}^s} + \dfrac{p}{{(3p)}^s} + ... \)


for \( p=3 \)
\( \zeta(s) - \dfrac{p}{p^s} \zeta(s) = \dfrac{1}{1^s} + \dfrac{1}{2^s} - \dfrac{2}{3^s} + \dfrac{1}{4^s} + \dfrac{1}{5^s} - \dfrac{2}{6^s}... = \rho(s)\)

\( (1 - p^{1-s}) \zeta(s) = \rho(s) \)

\( \zeta(s) =   \dfrac{1}{1-p^{1-s}} \rho(s)  \)


\( \rho(s,p) = (1 - p^{1-s}) \zeta(s)  \)

\( \rho(s,q) = (1 - q^{1-s}) \zeta(s)  \)

\( \rho(s,p) - \rho(s,q)  = (q^{1-s} - p^{1-s}) \zeta(s)  \)

for \( p=7, q=11 \)

\( \rho(s,7) - \rho(s,11)  =  - \dfrac{7}{7^s} + \dfrac{11}{11^s} - \dfrac{7}{14^s} - \dfrac{7}{21^s} + \dfrac{11}{22^s} - \dfrac{7}{28^s} + \dfrac{11}{33^s}... + \dfrac{4}{77^s}...\)


\( \rho(z,p) - \rho(z,q)  = (q^{1-z} - p^{1-z}) \zeta(z)  \)

and for \( s=1, p=3 \)
\( \rho(1,3) = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{6}... =  ln(3)  \)

\( \rho(1,p) = ln(p) \)

所得稅法規定「中華民國境內居住之個人」之判定

投資理財淺談

道理基本上 很簡單 就是 多賺錢 多存錢 不要亂花錢 你自然就會變有錢

一般來說 所謂的有錢 一種是看淨資產  另一種是看可用來做投資的淨資產 (自住的房子的價值要先扣掉)

一般小額花費的標準是  萬分之一的消費額度(每日)  不太需要考慮...  萬分之 365  約等於 3.65%...  所以以正常的投資報酬率 就能夠支付

所以有一百萬美金的可投資資產  就大約是一百元美金 約台幣三千元  以這種花錢速度  應該一輩子也花不完

另外 以投資的角度  如果能及早投資在適當的標的  以美國標普500 長期投報率約 6.6%(扣掉通膨) 而言  你從25歲工作40年  65歲退休  預期壽命為85歲

那你從工作開始  每月存台幣一萬元  你退休的時候 平均每月可以有 \(1.066^{40} + 1.066^{20} = 16.48\) 萬元可以花

如果你從一開始只存20年到45歲  後面都不存 每月也有 \(1.066^{40} = 12.89\) 萬元可以花

你存不了一萬  每月存個五千  退休也是有 6~8萬...  所以真的不難

如果你的父母有先見之明 從生下你就每月幫你存台幣一萬元 存20年... 每月就有 \(1.066^{65} = 63.71\)萬元... 存二千就夠了 每月也有12萬

懂得投資理財 比甚麼都重要